所以Q=M=PPT-E。
即定理得證。
3.2 約束條件
結合問題中的條件，我們定義變量xijk表示第i個人在第j場次的會議中分在第k組，
則xijk=1在第j場會議中，xi∈Gk
0在第j場會議中，xiGk，
其中
i=1…37，表示37個家具公司董事；
i=1…9，表示9個家具公司的雇員董事；
i=10…37表示28個家具公司的外部董事；
j=1…7表示全天開了7場次的會議；
k=1…6表示上午的三個場次的會議中，每個場次的會議分為6個小組，k=1…4表示下午的四個場次的會議中，每個場次的會議分為4個小組。
對于每個場次的分組來說，都一定存在有分組矩陣Pj，即：Pj=x1j1…x1jk
x2j1…x2jk
………
x37j1…x37jk，其中k=6（上午）或者4（下午）。
再根據題目給定的要求，可以得到如下的約束條件：
（1）每一次分組中，每個與會董事唯一的分在一組，
即∑6k=1xijk=1j=1，2，3i=1，…，37
∑4k=1xijk=1j=4，5，6，7i=1，…，37
（2）每次分組時，每組中的家具公司雇員董事應當合比例，
有1≤∑9i=1xijk≤2k=1，…，6j=1，2，3
2≤∑9i=1xijk≤3k=1，…，4j=4，5，6，7
（3）每次分組時，各小組的人數盡量平均分配，
有6≤∑37i=1xijk≤7k=1，…，6j=1，2，3
9≤∑37i=1xijk≤10k=1，…，4j=4，5，6，7
（4）xijk=1在第j場會議中，xi∈Gk
0在第j場會議中，xiGk
3.3 目標函數
7次分組會議完成以后，董事成員1-37之間相互見面的次數可由如下的公式表示：Qsum=∑7j=1Qj=（qsumij）37×37，Qsum為總的相遇矩陣。
其中
qsumij=∑3l=1∑6k=1xilk·xjlk+∑7l=4∑4k=1xilk·xjlki，j=1，…，37 i≠j
0i=j
3.3.1 目標函數Ⅰ的給出
考慮到與會董事之間的充分交流，要盡量保證每個與會董事之間都有見面的機會，即在Qsum中除了主對角線上元素外，0元素個數應盡可能少，首先對Qsum進行處理，得到Q（1）sum=Qsum+E37×37=（qsum（1）ij）37×37。
令mij=1qsum（1）ij=0
0否則，得到M=（mij）37×37，則目標函數I為m（x）=∑37i=1∑37j=1mij最小。
3.3.2 目標函數Ⅱ的給出
考慮到任意兩個董事重復見面的次數應盡可能相同，通過（qsumij）k可以放大不同董事與其他的董事見面次數上的單個差異，k的取值越大，放大的程度就越大。在本模型中，我們取定k=2，即‖Qsum‖2F，因此得到目標函數Ⅱ為g（x）=‖Qsum‖2F=∑37i=1∑37j=1（qsumij）2。
在這里，我們認為g（x）達到最小時，任意兩個成員重復見面次數達到盡量平均這個目標就得以實現，而當m（x）達到最小時，充分見面這個目標也得以最好地滿足。
3.3.3 總目標函數的得到
考慮到兩個目標函數m（x）和g（x）存在著著不同的優先級和數量級，于是對兩目標函數采用加以不同權系數衡量，得到總目標函數表達式，為f（x）=λ1m（x）+λ2g（x），其中λ1+λ2=1，λ1，λ2為權系數，這里取λ1=0.6，λ2=0.4。
4 模型的建立
綜合所述，得到如下模型：
目標函數Minf（x）=0.6m（x）+0.4g（x）
約束條件∑6k=1xijk=1j=1，2，3i=1，…，37
∑4k=1xijk=1j=4，5，6，7i=1，…，37
1≤∑9i=1xijk≤2k=1，…6j=1，2，3
2≤∑9i=1xijk≤3k=1，…4j=4，5，6，7
6≤∑37i=1xijk≤7k=1，…6j=1，2，3
9≤∑37i=1xijk≤10k=1，…4j=4，5，6，7
xijk只能是0或者1，i=1，…，37，j=1，……，7，k=1，…，6。
5 模型的求解
5.1 尋找問題的可行解空間
對于模型中的每個決策變量只能0或者1，因此可以看作是多目標0-1整數規劃問題，其變量的個數多達37×6×3+37×4×4=1258個，使用窮舉法搜索顯然是不可行的。考慮到模型中決策變量特點，采用每一場次會議的分組矩陣作為變量，決策變量的個數將會降低到7個，該模型可看作是參會成員集合的組合優化問題。考慮到分組矩陣的每一行中只能有一個元素為1，其余的元素全部為0，對于第一場和第四場的分組矩陣來說有：
X1=1
1
1
1
1
1
………
1
1
1
1
1037×6，X4=1
1
1
1
……
1
1
[1]
[3]
即定理得證。
3.2 約束條件
結合問題中的條件，我們定義變量xijk表示第i個人在第j場次的會議中分在第k組，
則xijk=1在第j場會議中，xi∈Gk
0在第j場會議中，xiGk，
其中
i=1…37，表示37個家具公司董事；
i=1…9，表示9個家具公司的雇員董事；
i=10…37表示28個家具公司的外部董事；
j=1…7表示全天開了7場次的會議；
k=1…6表示上午的三個場次的會議中，每個場次的會議分為6個小組，k=1…4表示下午的四個場次的會議中，每個場次的會議分為4個小組。
對于每個場次的分組來說，都一定存在有分組矩陣Pj，即：Pj=x1j1…x1jk
x2j1…x2jk
………
x37j1…x37jk，其中k=6（上午）或者4（下午）。
再根據題目給定的要求，可以得到如下的約束條件：
（1）每一次分組中，每個與會董事唯一的分在一組，
即∑6k=1xijk=1j=1，2，3i=1，…，37
∑4k=1xijk=1j=4，5，6，7i=1，…，37
（2）每次分組時，每組中的家具公司雇員董事應當合比例，
有1≤∑9i=1xijk≤2k=1，…，6j=1，2，3
2≤∑9i=1xijk≤3k=1，…，4j=4，5，6，7
（3）每次分組時，各小組的人數盡量平均分配，
有6≤∑37i=1xijk≤7k=1，…，6j=1，2，3
9≤∑37i=1xijk≤10k=1，…，4j=4，5，6，7
（4）xijk=1在第j場會議中，xi∈Gk
0在第j場會議中，xiGk
3.3 目標函數
7次分組會議完成以后，董事成員1-37之間相互見面的次數可由如下的公式表示：Qsum=∑7j=1Qj=（qsumij）37×37，Qsum為總的相遇矩陣。
其中
qsumij=∑3l=1∑6k=1xilk·xjlk+∑7l=4∑4k=1xilk·xjlki，j=1，…，37 i≠j
0i=j
3.3.1 目標函數Ⅰ的給出
考慮到與會董事之間的充分交流，要盡量保證每個與會董事之間都有見面的機會，即在Qsum中除了主對角線上元素外，0元素個數應盡可能少，首先對Qsum進行處理，得到Q（1）sum=Qsum+E37×37=（qsum（1）ij）37×37。
令mij=1qsum（1）ij=0
0否則，得到M=（mij）37×37，則目標函數I為m（x）=∑37i=1∑37j=1mij最小。
3.3.2 目標函數Ⅱ的給出
考慮到任意兩個董事重復見面的次數應盡可能相同，通過（qsumij）k可以放大不同董事與其他的董事見面次數上的單個差異，k的取值越大，放大的程度就越大。在本模型中，我們取定k=2，即‖Qsum‖2F，因此得到目標函數Ⅱ為g（x）=‖Qsum‖2F=∑37i=1∑37j=1（qsumij）2。
在這里，我們認為g（x）達到最小時，任意兩個成員重復見面次數達到盡量平均這個目標就得以實現，而當m（x）達到最小時，充分見面這個目標也得以最好地滿足。
3.3.3 總目標函數的得到
考慮到兩個目標函數m（x）和g（x）存在著著不同的優先級和數量級，于是對兩目標函數采用加以不同權系數衡量，得到總目標函數表達式，為f（x）=λ1m（x）+λ2g（x），其中λ1+λ2=1，λ1，λ2為權系數，這里取λ1=0.6，λ2=0.4。
4 模型的建立
綜合所述，得到如下模型：
目標函數Minf（x）=0.6m（x）+0.4g（x）
約束條件∑6k=1xijk=1j=1，2，3i=1，…，37
∑4k=1xijk=1j=4，5，6，7i=1，…，37
1≤∑9i=1xijk≤2k=1，…6j=1，2，3
2≤∑9i=1xijk≤3k=1，…4j=4，5，6，7
6≤∑37i=1xijk≤7k=1，…6j=1，2，3
9≤∑37i=1xijk≤10k=1，…4j=4，5，6，7
xijk只能是0或者1，i=1，…，37，j=1，……，7，k=1，…，6。
5 模型的求解
5.1 尋找問題的可行解空間
對于模型中的每個決策變量只能0或者1，因此可以看作是多目標0-1整數規劃問題，其變量的個數多達37×6×3+37×4×4=1258個，使用窮舉法搜索顯然是不可行的。考慮到模型中決策變量特點，采用每一場次會議的分組矩陣作為變量，決策變量的個數將會降低到7個，該模型可看作是參會成員集合的組合優化問題。考慮到分組矩陣的每一行中只能有一個元素為1，其余的元素全部為0，對于第一場和第四場的分組矩陣來說有：
X1=1
1
1
1
1
1
………
1
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1
1
1037×6，X4=1
1
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