摘要：金融市場之間的相關性分析一直是金融領域的熱點問題，Copula函數作為一種有效的工具被廣泛應用。以往的相關性研究已經證明上證與深證指數存在緊密的協同運動，文章運用M-Copula函數重點研究上證與深證地產指數之間的尾部相關模式。通過實證分析發現，上證與深證地產指數之間存在很強的上尾相關性，這種相關模式是非對稱的。同時，M-Copula函數對于刻畫金融市場之間的尾部相關性要優于單個的阿基米德族Copula函數。
關鍵詞：M-Copula；尾部相關模式；實證研究
近年來，隨著經濟全球化的更加深入，各個金融市場之間相互關聯程度不斷加深，聯動趨勢比以往更加顯著。協同運動、波動溢出等的金融市場相關性研究一直是金融研究的重點問題之一，在資產定價、投資組合管理及風險控制等方面具有重要的應用。Copula函數可以將隨機變量的邊緣分布函數與聯合分布函數連接起來，充分刻畫隨機變量之間的相關性，從而將問題簡化。當前，中國股市處于不斷發展和成熟階段，出現過比較大的波動，現有的研究已經證明滬深股市指數存在很強的相關性，文章將重點研究上證與深證房地產板塊之間的尾部相模式。
一、國內外研究概述
國內外已經有比較多的基于Copula函數分析股票相關性的文章。李悅、程希駿（2006）運用Copula函數研究了上證指數與香港恒生指數之間的相關性，分析發現阿基米德族中的Gumbel Copula函數對于數據的擬合是最優的，由此得出上證與恒生指數的上尾相關性較強，下尾相關性較弱。任仙玲、張世英（2008）運用基于秩的極大似然估計法估計Copula函數的參數，結合BBx-Copula函數對民生銀行和浦發銀行兩只股票的相關性進行實證分析，結果顯示兩只股票市場熊市的尾部相關性高于牛市，即下尾相關性更強。王曉芳等（2009）發現時變的SJC Copula函數較靜態Copula函數的擬合效果好，上證綜指和新加坡海峽時報指數股指收益序列的尾部相關關系不對稱，存在顯著的下尾相關，而上尾相關不明顯，而且上證綜指和海峽時報指數收益序列的下尾相關系數是不斷變化的并呈現出日益上升的趨勢。閆海梅等（2011）研究發現Clayton Copula對于刻畫上證A股、深證A股和滬深300指數之間的尾部相關模式是最優的，且滬深300指數對組合的尾部風險影響較大。
二、模型提出
在Copula函數的參數和結構是時不變的前提假設下，由于阿基米德族的Copula函數，具有結構簡單、計算方便、具有多種分布特征，且具有很好的統計性質，可以充分刻畫金融數據尖峰、厚尾的特點，故文章選用阿基米德族Copula函數構建模型。Genest和Mackay給出了阿基米德Copula函數的定義，函數的具體表達式為
C（u，v）=φ-1（φ（u）+φ（v）），u，v∈（0，1）
其中函數φ（.）稱為阿基米德Copula函數的生成元，它滿足以下條件：φ（u）+φ（v）≤φ（0），對任意0≤t≤1，φ（t）是一個凸的減函數。由此可見，阿基米德Copula函數由它們的生成函數φ（.）唯一確定。常用的阿基米德族Copula函數主要有三種：Gumbel Copula函數、Clayton Copula函數與Frank Copula函數。它們各自具有不同的分布特征，用于刻畫金融時間序列之間不同的相關模式。
（一）Gumbel Copula函數
生成元函數φ（t）=（-lnt）α時，所得的Copula函數定義為Gumbel Copula函數，形式為
CG（u，v；α）=exp（-（（-lnu）α+（-lnv）α）1/α ），α∈[1，∞），
其中α為Gumbel Copula中的相關系數。當α=1時，隨機變量u，v獨立，當α→∞時，隨機變量u，v完全相關，Gumbel函數對上尾相關敏感。
（二）Clayton Copula函數
生成元函數φ（t）=t-α-1時，所得到的Copula函數定義為Clayton Copula函數，形式為
Cc（u，v；α）=（u-α+v-α-1），α∈（0，∞）
其中α為相關參數。當α→0，表示隨機變量u，v趨向獨立；當α→∞時，隨機變量u，v趨于完全相關，Clayton函數對下尾相關敏感。
（三）Frank Copula函數
生成元函數φ（t）=-ln（（eαt-1） /（eα-1））時，所得的Copula函數定義為Frank Copula函數，其形式為
CF（u，v；α）=-ln（1+），α∈（-∞，0）∪（0，∞）
其中α為Frank Copula中的相關參數。當α>0，表示隨機變量u，v正相關；當α→0，表示隨機變量u，v趨向獨立；α<0，表示隨機變量u，v負相關，Frank函數對對稱相關敏感。
（四）M-Copula函數
混合Copula函數就是將上述Gumbel、Clayton、Frank Copula函數按照線性組合重新構建的一種Copula函數，因此具有上述三種阿基米德Copula函數的特點，可以充分捕捉隨機變量上下尾以及對稱相關關系，對于刻畫隨機變量的相關性具有較大的優勢，其形式為
CM（u，v；ω，α）=ω1CG（u，v；α1）+ω2Cc（u，v；α2）+ω3CF（u，v；α3）
其中，ω=[ω1，ω2，ω3]T，α=[α1，α2，α3]T，0≤ω1，ω2，ω3≤1，且ω1+ω2+ω3=1，它們是混合Copula函數的權重參數，α1、α2、α3的定義參見上述三個Copula函數。由于金融時間序列相當復雜，具有尖峰、肥尾等等一系列的特點，上、下尾及對稱相關關系在實際中都存在，因此單個相關Copula函數很難充分捕捉金融時間序列之間的協同運動，故本文運用M-Copula函數作為分析工具。
關鍵詞：M-Copula；尾部相關模式；實證研究
近年來，隨著經濟全球化的更加深入，各個金融市場之間相互關聯程度不斷加深，聯動趨勢比以往更加顯著。協同運動、波動溢出等的金融市場相關性研究一直是金融研究的重點問題之一，在資產定價、投資組合管理及風險控制等方面具有重要的應用。Copula函數可以將隨機變量的邊緣分布函數與聯合分布函數連接起來，充分刻畫隨機變量之間的相關性，從而將問題簡化。當前，中國股市處于不斷發展和成熟階段，出現過比較大的波動，現有的研究已經證明滬深股市指數存在很強的相關性，文章將重點研究上證與深證房地產板塊之間的尾部相模式。
一、國內外研究概述
國內外已經有比較多的基于Copula函數分析股票相關性的文章。李悅、程希駿（2006）運用Copula函數研究了上證指數與香港恒生指數之間的相關性，分析發現阿基米德族中的Gumbel Copula函數對于數據的擬合是最優的，由此得出上證與恒生指數的上尾相關性較強，下尾相關性較弱。任仙玲、張世英（2008）運用基于秩的極大似然估計法估計Copula函數的參數，結合BBx-Copula函數對民生銀行和浦發銀行兩只股票的相關性進行實證分析，結果顯示兩只股票市場熊市的尾部相關性高于牛市，即下尾相關性更強。王曉芳等（2009）發現時變的SJC Copula函數較靜態Copula函數的擬合效果好，上證綜指和新加坡海峽時報指數股指收益序列的尾部相關關系不對稱，存在顯著的下尾相關，而上尾相關不明顯，而且上證綜指和海峽時報指數收益序列的下尾相關系數是不斷變化的并呈現出日益上升的趨勢。閆海梅等（2011）研究發現Clayton Copula對于刻畫上證A股、深證A股和滬深300指數之間的尾部相關模式是最優的，且滬深300指數對組合的尾部風險影響較大。
二、模型提出
在Copula函數的參數和結構是時不變的前提假設下，由于阿基米德族的Copula函數，具有結構簡單、計算方便、具有多種分布特征，且具有很好的統計性質，可以充分刻畫金融數據尖峰、厚尾的特點，故文章選用阿基米德族Copula函數構建模型。Genest和Mackay給出了阿基米德Copula函數的定義，函數的具體表達式為
C（u，v）=φ-1（φ（u）+φ（v）），u，v∈（0，1）
其中函數φ（.）稱為阿基米德Copula函數的生成元，它滿足以下條件：φ（u）+φ（v）≤φ（0），對任意0≤t≤1，φ（t）是一個凸的減函數。由此可見，阿基米德Copula函數由它們的生成函數φ（.）唯一確定。常用的阿基米德族Copula函數主要有三種：Gumbel Copula函數、Clayton Copula函數與Frank Copula函數。它們各自具有不同的分布特征，用于刻畫金融時間序列之間不同的相關模式。
（一）Gumbel Copula函數
生成元函數φ（t）=（-lnt）α時，所得的Copula函數定義為Gumbel Copula函數，形式為
CG（u，v；α）=exp（-（（-lnu）α+（-lnv）α）1/α ），α∈[1，∞），
其中α為Gumbel Copula中的相關系數。當α=1時，隨機變量u，v獨立，當α→∞時，隨機變量u，v完全相關，Gumbel函數對上尾相關敏感。
（二）Clayton Copula函數
生成元函數φ（t）=t-α-1時，所得到的Copula函數定義為Clayton Copula函數，形式為
Cc（u，v；α）=（u-α+v-α-1），α∈（0，∞）
其中α為相關參數。當α→0，表示隨機變量u，v趨向獨立；當α→∞時，隨機變量u，v趨于完全相關，Clayton函數對下尾相關敏感。
（三）Frank Copula函數
生成元函數φ（t）=-ln（（eαt-1） /（eα-1））時，所得的Copula函數定義為Frank Copula函數，其形式為
CF（u，v；α）=-ln（1+），α∈（-∞，0）∪（0，∞）
其中α為Frank Copula中的相關參數。當α>0，表示隨機變量u，v正相關；當α→0，表示隨機變量u，v趨向獨立；α<0，表示隨機變量u，v負相關，Frank函數對對稱相關敏感。
（四）M-Copula函數
混合Copula函數就是將上述Gumbel、Clayton、Frank Copula函數按照線性組合重新構建的一種Copula函數，因此具有上述三種阿基米德Copula函數的特點，可以充分捕捉隨機變量上下尾以及對稱相關關系，對于刻畫隨機變量的相關性具有較大的優勢，其形式為
CM（u，v；ω，α）=ω1CG（u，v；α1）+ω2Cc（u，v；α2）+ω3CF（u，v；α3）
其中，ω=[ω1，ω2，ω3]T，α=[α1，α2，α3]T，0≤ω1，ω2，ω3≤1，且ω1+ω2+ω3=1，它們是混合Copula函數的權重參數，α1、α2、α3的定義參見上述三個Copula函數。由于金融時間序列相當復雜，具有尖峰、肥尾等等一系列的特點，上、下尾及對稱相關關系在實際中都存在，因此單個相關Copula函數很難充分捕捉金融時間序列之間的協同運動，故本文運用M-Copula函數作為分析工具。