三、模型估計方法
由于Copula函數的是由隨機變量的邊緣分布來構造聯合分布的，所以選用參數估計法中的兩階段最大似然估計法。兩階段最大似然估計法將Copula函數的參數估計分解為兩步：第一步，通過擬合優度選取合適邊緣分布的分布函數，再運用極大似然估計法，求出各隨機變量的邊緣分布的參數；第二步，通過第一步估計出的隨機變量邊緣分布函數，運用極大似然估計，估計出Copula函數中的各個參數。
四、模型構建與分析
選取上證地產指數（000006）及深證地產指數（399200），以2001年7月2日至2013年12月17日的收盤價為樣本，各取其對數收益率序列：rnt=100（lnPnt-lnPn，t-1），剔除其中的無效數據后共計3018組數據。由于GARCH模型可以比較充分的刻畫金融時間序列條件分布的尖峰、厚尾、波動集聚等特點，基于正態分布假設下，分別構建GARCH（1，1）-M、GARCH（1，1）-M-t、GARCH（1，1）-M-GED模型擬合現有的樣本數據。結果表明：GARCH（1，1）-M-t對于數據的擬合最好，其次是GARCH（1，1）-M-GED，GARCH（1，1）-M模型最不理想，故選用二元Copula-GARCH（1，1）-M-t模型，即
rnt=μn+cnσnt+ant，
ant=σntεnt，
σ2nt=ωn+αna2n，t-1+βnσ2n，t-1
（ε1t，ε2t）～C（Tv1（ε1t），Tv2（ε2t））
其中，n=1，2，t=1，2，3，…，T，Tv1（·），Tv2（·）分別為自由度為v1，v2的標準化的t分布，即ε1t～t（v1），ε2t～t（v2）。為了檢驗不同的Copula函數的對上證與深證地產指數的刻畫能力，本文選用Gumbel、Clayton、Frank函數作為M-Copula函數的對照。
對原序列做概率積分變換得到的新序列做KS檢驗，檢驗其是否服從（0，1）均勻分布。結果顯示沒有足夠的證據拒絕原假設，經過LM自相關檢驗也沒有發現其存在序列相關性，所以GARCH（1，1）-M-t較好的擬合了序列的條件邊緣分布，建模是充分的。
對兩個收益率序列做概率積分變換后的新序列，分別用Gumbel、Clayton、Frank函數以及M-Copula分別刻畫其相關結構，得到的參數估計結果如表2所示。
從表1中可以看出，上證地產指數的均衡收益率要大于深證地產指數，但是單位風險的收益上證要小于深證。深證地產指數的波動性要大于上證房地產指數，這可能與上證地產指數多為大盤股有關，與其穩健特點相對應的風險溢價相對較低。上證地產指數的波動持續期略長于深證地產指數。
從表2中可以看出，M-Copula函數對于兩個時間序列的相關性刻畫是最好的，其次是Gumbel函數。M-Copula函數的Frank項的權重系數顯著為零而其他兩個函數顯著不為零，所以上證房地產指數與深證房地產指數之間存在顯著的非對稱尾部相關關系。M-Copula函數中的三個權重系數中，Gumbel函數項的權重參數顯著大于另外兩個說明，兩個時間序列正的條件尾部相關關系更加明顯。上證與深證地產指數收益率序列在上尾與下尾表現出來的顯著的相關模式，說明了它們之間存在顯著的尾部協同運動模式，在發生極值事件時，上證與深證地產指數之間的協同運動明顯增強，與負極值收益率相比，正的極值收益率的使兩大地產指數表現出更強的相關性，即利好對于上證與深證地產板塊的沖擊要強于利空。這種非對稱相關模式與之前市場對于房地產價格持續上漲的強烈預期相契合，在市場整體對于房地產行業特別是房地產價格看多的趨勢下，地產指數的上尾表現出更強的相關性。
總體看來，三種不同的阿基米德族Copula函數具有各自的特點，Frank函數對于對稱相關很敏感，而傾向于忽視非對稱相關模式；Gumbel函數傾向于突出上尾相關性，而忽視下尾相關模式，Clayton函數則恰恰相反。事實證明，M-Copula函數對于非對稱相關模式的刻畫要優于單個的阿基米德族Copula函數，對于描繪非對稱相關模式具有很大的優勢。
參考文獻：
[1]李悅，程希駿.上證指數和恒生指數的Copula尾部相關性分析[J].系統工程，2006（05）.
[2]任仙玲，張世英.基于Copula函數的金融市場尾部相關性分析[J].統計與信息論壇，2008（06）.
[3]王曉芳，謝金靜.基于多種Copula函數的滬新股市尾部相關性比較分析[J].統計與信息論壇，2009（06）.
[4]閆海梅，王波.基于Copula理論的尾部相關性分析[J].統計與決策，2011（21）.
[5] Nelsen RB. An Introduction to Copulas[M].New York：Springer Verlag，1998.
（作者單位：王海龍，上海理工大學管理學院；錢燕云，上海理工大學中德學院）
由于Copula函數的是由隨機變量的邊緣分布來構造聯合分布的，所以選用參數估計法中的兩階段最大似然估計法。兩階段最大似然估計法將Copula函數的參數估計分解為兩步：第一步，通過擬合優度選取合適邊緣分布的分布函數，再運用極大似然估計法，求出各隨機變量的邊緣分布的參數；第二步，通過第一步估計出的隨機變量邊緣分布函數，運用極大似然估計，估計出Copula函數中的各個參數。
四、模型構建與分析
選取上證地產指數（000006）及深證地產指數（399200），以2001年7月2日至2013年12月17日的收盤價為樣本，各取其對數收益率序列：rnt=100（lnPnt-lnPn，t-1），剔除其中的無效數據后共計3018組數據。由于GARCH模型可以比較充分的刻畫金融時間序列條件分布的尖峰、厚尾、波動集聚等特點，基于正態分布假設下，分別構建GARCH（1，1）-M、GARCH（1，1）-M-t、GARCH（1，1）-M-GED模型擬合現有的樣本數據。結果表明：GARCH（1，1）-M-t對于數據的擬合最好，其次是GARCH（1，1）-M-GED，GARCH（1，1）-M模型最不理想，故選用二元Copula-GARCH（1，1）-M-t模型，即
rnt=μn+cnσnt+ant，
ant=σntεnt，
σ2nt=ωn+αna2n，t-1+βnσ2n，t-1
（ε1t，ε2t）～C（Tv1（ε1t），Tv2（ε2t））
其中，n=1，2，t=1，2，3，…，T，Tv1（·），Tv2（·）分別為自由度為v1，v2的標準化的t分布，即ε1t～t（v1），ε2t～t（v2）。為了檢驗不同的Copula函數的對上證與深證地產指數的刻畫能力，本文選用Gumbel、Clayton、Frank函數作為M-Copula函數的對照。
對原序列做概率積分變換得到的新序列做KS檢驗，檢驗其是否服從（0，1）均勻分布。結果顯示沒有足夠的證據拒絕原假設，經過LM自相關檢驗也沒有發現其存在序列相關性，所以GARCH（1，1）-M-t較好的擬合了序列的條件邊緣分布，建模是充分的。
對兩個收益率序列做概率積分變換后的新序列，分別用Gumbel、Clayton、Frank函數以及M-Copula分別刻畫其相關結構，得到的參數估計結果如表2所示。
從表1中可以看出，上證地產指數的均衡收益率要大于深證地產指數，但是單位風險的收益上證要小于深證。深證地產指數的波動性要大于上證房地產指數，這可能與上證地產指數多為大盤股有關，與其穩健特點相對應的風險溢價相對較低。上證地產指數的波動持續期略長于深證地產指數。
從表2中可以看出，M-Copula函數對于兩個時間序列的相關性刻畫是最好的，其次是Gumbel函數。M-Copula函數的Frank項的權重系數顯著為零而其他兩個函數顯著不為零，所以上證房地產指數與深證房地產指數之間存在顯著的非對稱尾部相關關系。M-Copula函數中的三個權重系數中，Gumbel函數項的權重參數顯著大于另外兩個說明，兩個時間序列正的條件尾部相關關系更加明顯。上證與深證地產指數收益率序列在上尾與下尾表現出來的顯著的相關模式，說明了它們之間存在顯著的尾部協同運動模式，在發生極值事件時，上證與深證地產指數之間的協同運動明顯增強，與負極值收益率相比，正的極值收益率的使兩大地產指數表現出更強的相關性，即利好對于上證與深證地產板塊的沖擊要強于利空。這種非對稱相關模式與之前市場對于房地產價格持續上漲的強烈預期相契合，在市場整體對于房地產行業特別是房地產價格看多的趨勢下，地產指數的上尾表現出更強的相關性。
總體看來，三種不同的阿基米德族Copula函數具有各自的特點，Frank函數對于對稱相關很敏感，而傾向于忽視非對稱相關模式；Gumbel函數傾向于突出上尾相關性，而忽視下尾相關模式，Clayton函數則恰恰相反。事實證明，M-Copula函數對于非對稱相關模式的刻畫要優于單個的阿基米德族Copula函數，對于描繪非對稱相關模式具有很大的優勢。
參考文獻：
[1]李悅，程希駿.上證指數和恒生指數的Copula尾部相關性分析[J].系統工程，2006（05）.
[2]任仙玲，張世英.基于Copula函數的金融市場尾部相關性分析[J].統計與信息論壇，2008（06）.
[3]王曉芳，謝金靜.基于多種Copula函數的滬新股市尾部相關性比較分析[J].統計與信息論壇，2009（06）.
[4]閆海梅，王波.基于Copula理論的尾部相關性分析[J].統計與決策，2011（21）.
[5] Nelsen RB. An Introduction to Copulas[M].New York：Springer Verlag，1998.
（作者單位：王海龍，上海理工大學管理學院；錢燕云，上海理工大學中德學院）